Haikal membagi sebuah kawat membentuk sebuah deret geometri dengan 9 bagian, jika haikal memotong kawat terpanjang sebesar 1.024 cm dan terkecil adalah 4 cm. Maka berapa total kawat semula!
Soal
Haikal membagi sebuah kawat membentuk sebuah deret geometri dengan 9 bagian, jika haikal memotong kawat terpanjang sebesar 1.024 cm dan terkecil adalah 4 cm. Maka berapa total kawat semula!
Pembahaan
Diketahui:
Jumlah bagian deret geometri = 9
Panjang potongan kawat terpanjang = 1024 cm
Panjang potongan kawat terkecil = 4 cm
Jumlah bagian deret geometri = 9
Panjang potongan kawat terpanjang = 1024 cm
Panjang potongan kawat terkecil = 4 cm
Ditanyakan:
Total kawat semula
Total kawat semula
Penyelesaian:
Dalam sebuah deret geometri, rasio antara setiap suku berturut-turut sama. Jika suku pertama (a) dan rasio (r) diketahui, maka suku ke-n dapat dihitung menggunakan rumus: $$a_n = a \cdot r^{n-1}$$ Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari nilai a dan r terlebih dahulu. Misalkan panjang potongan kawat terkecil adalah suku pertama, maka kita dapat menuliskan: $$a = 4 \text{ cm}$$ Selanjutnya, kita perlu mencari rasio. Diketahui bahwa terdapat 9 bagian, sehingga jumlah suku adalah 9+1=10. Maka, suku ke-10 (terpanjang) dapat dihitung menggunakan rumus di atas: $$a_{10} = 4 \cdot r^{10-1} = 1024 \text{ cm}$$ $$r^9 = \frac{1024}{4} = 256$$ $$r = \sqrt[9]{256}$$ $$r \approx 2$$ Setelah nilai a dan r ditemukan, kita dapat menggunakan rumus untuk menjumlahkan seluruh suku dalam deret geometri: $$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$ Dalam kasus ini, kita ingin mencari total kawat semula, yang merupakan jumlah panjang semua potongan kawat. Jumlahkan semua suku dari suku ke-1 hingga suku ke-10 menggunakan rumus di atas: $$S_{10} = \frac{4(2^{10}-1)}{2-1} = 2044 \text{ cm}$$ Jadi, total kawat semula adalah 2044 cm.
Dalam sebuah deret geometri, rasio antara setiap suku berturut-turut sama. Jika suku pertama (a) dan rasio (r) diketahui, maka suku ke-n dapat dihitung menggunakan rumus: $$a_n = a \cdot r^{n-1}$$ Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu mencari nilai a dan r terlebih dahulu. Misalkan panjang potongan kawat terkecil adalah suku pertama, maka kita dapat menuliskan: $$a = 4 \text{ cm}$$ Selanjutnya, kita perlu mencari rasio. Diketahui bahwa terdapat 9 bagian, sehingga jumlah suku adalah 9+1=10. Maka, suku ke-10 (terpanjang) dapat dihitung menggunakan rumus di atas: $$a_{10} = 4 \cdot r^{10-1} = 1024 \text{ cm}$$ $$r^9 = \frac{1024}{4} = 256$$ $$r = \sqrt[9]{256}$$ $$r \approx 2$$ Setelah nilai a dan r ditemukan, kita dapat menggunakan rumus untuk menjumlahkan seluruh suku dalam deret geometri: $$S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}$$ Dalam kasus ini, kita ingin mencari total kawat semula, yang merupakan jumlah panjang semua potongan kawat. Jumlahkan semua suku dari suku ke-1 hingga suku ke-10 menggunakan rumus di atas: $$S_{10} = \frac{4(2^{10}-1)}{2-1} = 2044 \text{ cm}$$ Jadi, total kawat semula adalah 2044 cm.